环球微动态丨西姆松定理和托勒密定理_西姆松定理的应用
【资料图】
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1、定理:设 P 是△ABC 所在平面上一点，P在它的三边BC，CA，AB 所在直线上的射影分别为X，Y，Z ，则P在△ABC的外接圆上的充要条件是：X，Y，Z 三点共线。
2、本定理中，X，Y，Z 三点所在的直线叫△ABC关于点P的西姆松线。
3、例1．设 P 是△ABC 的外接圆弧 BC 上任意一点，P 在它的三边 BC，CA，AB 所在直线上的射影分别为D，E，F ，PD，PE，PF 或其延长线与外接圆分别交于 X，Y，Z 。
4、证明：AX，BY，CZ 都是△ ABC 关于点 P 的西姆松线的平行线。
5、例2．设 H 是△ABC 的垂心，P 是它的外接圆上任意一点，求证：△ ABC 关于点 P 的西姆松线平分线段 PH 。
6、例3．在△ ABC 中，AC＞BC ，外接圆直径 DE⊥AB 于 F ，其中 C 和 E 在 AB 的同侧，过 C 作 CL⊥DE 于 L ，求证：DE·EF＝（AC + BC）的平方÷ 4 。
7、（93年SMO训练题）。
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